En 1900, en el Gran Anfiteatro de la Sorbona de Par\u00eds, David Hilbert se present\u00f3 ante una multitud de matem\u00e1ticos y pronunci\u00f3 un discurso que resonar\u00eda durante el siglo siguiente. Expuso 10 \u2014y posteriormente 23\u2014 problemas sin resolver que, seg\u00fan \u00e9l, definir\u00edan el futuro de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n\n\n\n
Ahora, 125 a\u00f1os despu\u00e9s, un tr\u00edo de matem\u00e1ticos cree haber resuelto parcialmente uno de los problemas de Hilbert: el sexto.<\/p>\n\n\n\n
En un art\u00edculo preimpreso, Yu Deng, Zaher Hani y Xiao Ma presentaron una rigurosa derivaci\u00f3n de las ecuaciones de la mec\u00e1nica de fluidos, incluyendo las famosas ecuaciones de Navier-Stokes y de Euler, comenzando por las leyes de Newton y pasando por la teor\u00eda cin\u00e9tica de Boltzmann. Su trabajo, aunque profundamente t\u00e9cnico, conecta tres teor\u00edas que describen el movimiento de los fluidos: desde la danza ca\u00f3tica de los \u00e1tomos hasta el elegante movimiento del viento y las olas.<\/p>\n\n\n\n
\u00bfC\u00f3mo surge el mundo de fluidos que vemos \u2014el humo en espiral, las r\u00e1fagas de viento, los remolinos de un arroyo\u2014 a partir de innumerables part\u00edculas invisibles que rebotan a su alrededor?<\/p>\n\n\n\n
Para abordar este problema, los f\u00edsicos se basaron durante mucho tiempo en la teor\u00eda cin\u00e9tica de Boltzmann, desarrollada a finales del siglo XIX. Ludwig Boltzmann argument\u00f3 que si se conoc\u00eda la probabilidad de la ubicaci\u00f3n de cada part\u00edcula y su velocidad de movimiento, se pod\u00eda describir estad\u00edsticamente el comportamiento de los gases. Esta teor\u00eda se describe en la ecuaci\u00f3n de Boltzmann. Hasta el d\u00eda de hoy, los ingenieros utilizan esta ecuaci\u00f3n para calcular las propiedades promedio de un gas o fluido, como la presi\u00f3n o la temperatura, sin obsesionarse con cada colisi\u00f3n microsc\u00f3pica.<\/p>\n\n\n\n
Pero esta ecuaci\u00f3n siempre ha sido problem\u00e1tica. Matem\u00e1ticamente, nadie hab\u00eda demostrado que esta ecuaci\u00f3n estad\u00edstica pudiera derivarse rigurosamente de las leyes deterministas de Newton. Tampoco se hab\u00eda seguido la l\u00ednea completa desde los \u00e1tomos hasta Boltzmann y las ecuaciones completas de los fluidos, como las ecuaciones de Navier-Stokes que rigen el flujo de aire y las corrientes de agua. Durante m\u00e1s de un siglo, nadie hab\u00eda logrado demostrar que estas ecuaciones (las leyes de Newton, la ecuaci\u00f3n de Boltzmann y las ecuaciones de Navier-Stokes) realmente se derivan una de otra.<\/p>\n\n\n\n
Esa es la esencia del sexto problema de Hilbert. El matem\u00e1tico alem\u00e1n desafi\u00f3 a los cient\u00edficos a sentar las bases matem\u00e1ticas de la f\u00edsica mediante su axiomatizaci\u00f3n, de forma similar a c\u00f3mo la geometr\u00eda se construye a partir de un conjunto de axiomas. En su discurso, destac\u00f3 la ecuaci\u00f3n de Boltzmann como un eslab\u00f3n clave y ret\u00f3 a las generaciones futuras a derivar las leyes de la f\u00edsica desde cero.<\/p>\n\n\n\n
Axiomatizar la f\u00edsica significa identificar un conjunto de principios b\u00e1sicos y evidentes (axiomas) de los cuales se pueden derivar l\u00f3gicamente todas las leyes f\u00edsicas. Este enfoque busca garantizar que todo el marco te\u00f3rico de la f\u00edsica sea coherente, completo y libre de contradicciones.<\/p>\n\n\n\n
Hilbert destac\u00f3 espec\u00edficamente dos \u00e1reas:<\/p>\n\n\n\n
F\u00edsicos y matem\u00e1ticos hab\u00edan avanzado en algunas piezas del rompecabezas. Algunos, incluido el propio Hilbert, hab\u00edan demostrado c\u00f3mo las ecuaciones macrosc\u00f3picas se derivan de las mesosc\u00f3picas. Otros abordaron c\u00f3mo la ecuaci\u00f3n de Boltzmann pod\u00eda surgir de las leyes de Newton, pero solo por momentos fugaces o en condiciones excesivamente ordenadas.<\/p>\n\n\n\n
Deng, Hani y Ma han conectado toda la cadena, desde las part\u00edculas hasta las estad\u00edsticas y el flujo continuo de fluidos. Y lo han hecho a lo largo de largas escalas de tiempo, donde las matem\u00e1ticas se complican y las interacciones entre part\u00edculas se acumulan.<\/p>\n\n\n\n
La prueba se desarrolla en dos grandes etapas. En primer lugar, el equipo extiende su trabajo previo del espacio infinito a un entorno peri\u00f3dico; en t\u00e9rminos matem\u00e1ticos, consideran part\u00edculas que se mueven en un toro bidimensional o tridimensional. Esto les permite evitar los efectos de borde y, al mismo tiempo, captar la esencia del espacio f\u00edsico. Demuestran que cuando un gran n\u00famero de part\u00edculas esf\u00e9ricas duras colisionan el\u00e1sticamente seg\u00fan las leyes de Newton, y cuando su tama\u00f1o se reduce en la proporci\u00f3n justa a su n\u00famero, el sistema obedece a la ecuaci\u00f3n de Boltzmann.<\/p>\n\n\n\n
Esto requiere lo que se conoce como el l\u00edmite de Boltzmann-Grad, un escalamiento delicado donde el di\u00e1metro de la part\u00edcula disminuye mientras que el n\u00famero de part\u00edculas aumenta, manteniendo fija la tasa de colisi\u00f3n. \u00abLa necesidad de este escalamiento… fue descubierta por Grad\u00bb, se\u00f1alan, refiri\u00e9ndose al trabajo de Harold Grad en la d\u00e9cada de 1960.<\/p>\n\n\n\n
\u201cEl primer l\u00edmite (cin\u00e9tico) result\u00f3 ser m\u00e1s desafiante\u201d, admiten los autores, porque exige seguir las interacciones de las part\u00edculas durante largos per\u00edodos, algo que hab\u00eda eludido los trabajos anteriores.<\/p>\n\n\n\n
Una vez construido este puente, el segundo paso consiste en derivar las ecuaciones cl\u00e1sicas de fluidos a partir del marco de Boltzmann. Este llamado l\u00edmite hidrodin\u00e1mico supone que la tasa de colisi\u00f3n se vuelve muy alta (el camino libre medio se reduce), lo que provoca que el sistema adopte un comportamiento similar al de un fluido.<\/p>\n\n\n\n
Con esto demuestran que el mundo atom\u00edstico de Newton da lugar a:<\/p>\n\n\n\n
Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes-Fourier<\/strong>, que describen el flujo de fluidos viscosos con conducci\u00f3n de calor.<\/p>\n\n\n\n Las ecuaciones de Euler compresibles<\/strong>, que modelan flujos no viscosos como las ondas sonoras o los frentes de choque.<\/p>\n\n\n\n Estas son las ecuaciones que utilizan los ingenieros para simular todo, desde las alas de los aviones hasta los modelos clim\u00e1ticos. El resultado es una derivaci\u00f3n continua (desde las leyes de Newton hasta la ecuaci\u00f3n de Boltzmann y la de Navier-Stokes) que rastrea la l\u00f3gica del movimiento del fluido en todas las escalas.<\/p>\n\n\n\n El hallazgo no modifica las ecuaciones de fluidos en s\u00ed. Los ingenieros seguir\u00e1n utilizando las mismas herramientas para dise\u00f1ar aviones y simular el clima.<\/p>\n\n\n\n Pero cambia nuestra confianza en esas herramientas. Nos dice que las ecuaciones funcionan no s\u00f3lo porque coinciden con los hallazgos emp\u00edricos, sino porque deben derivarse de leyes m\u00e1s profundas.<\/p>\n\n\n\n En f\u00edsica, este tipo de consistencia es fundamental. Es una se\u00f1al de que nuestras teor\u00edas tienen bases s\u00f3lidas: que entendemos no solo qu\u00e9 funciona, sino tambi\u00e9n por qu\u00e9.<\/p>\n\n\n\n El resultado podr\u00eda inspirar trabajos similares en otras ramas de la f\u00edsica. Desde la f\u00edsica del plasma hasta la materia condensada y la teor\u00eda cu\u00e1ntica de campos, los investigadores suelen oscilar entre descripciones microsc\u00f3picas y macrosc\u00f3picas. Un v\u00ednculo matem\u00e1tico s\u00f3lido entre ambas ayuda a evitar sorpresas y abre la puerta a otras nuevas.<\/p>\n\n\n\n Los hallazgos aparecieron en arXiv<\/a>.<\/p>\n\n\n\n\u00bfQu\u00e9 significa esto para la f\u00edsica?<\/h2>\n\n\n\n