Hace casi cuatro milenios, dos ricos terratenientes mesopotámicos se pelearon por una parcela de tierra, cada uno afirmando ser el propietario legítimo. La disputa no se resolvió por pura fuerza y violencia, ya que este fue el reino que estableció las primeras leyes escritas después de todo, sino más bien a través de una mediación más bien moderna. Un agrimensor experto llegó a un sitio y con sus herramientas confiables, dividió las tierras en disputa en la frontera en parcelas iguales y los dos terratenientes volvieron a ser felices como vecinos.
Estos agrimensores babilónicos fueron los encargados de redactar los primeros documentos catastrales de la historia conocida, durante una época en la que se confiaba a los ciudadanos la propiedad privada que debía delimitarse de las tierras comunales. Estos antiguos topógrafos, conocidos como escribas, no tenían estaciones totales ni GPS a su disposición y, francamente, no los necesitaban. Eran muy capaces de medir y dividir con precisión parcelas de tierra utilizando una vara de medir y su habilidad matemática.
Una tablilla de arcilla de 3.700 años, conocida como Si.427, es ilustrativa a este respecto. Muestra cómo los topógrafos babilónicos deben haber realizado operaciones geométricas, incluso usando triples pitagóricos para hacer ángulos rectos con precisión, más de mil años antes de que naciera el poderoso filósofo griego.
En un nuevo estudio publicado hoy en Foundations of Science, el Dr. Daniel Mansfield, matemático de la Universidad de Nueva Gales del Sur en Australia, explica la gran importancia detrás de lo que bien podría ser el ejemplo más antiguo de geometría aplicada en el mundo.
Proto-trigonometría: la geometría del suelo
Aunque Mansfield es un matemático, su investigación sobre el Si.427 se parecía más a la de un arqueólogo. La tableta fue descubierta en Bagdad a finales del siglo XIX, pero desde entonces había cambiado de manos y su ubicación seguía siendo un enigma. Sin embargo, Mansfield se había enterado de ello mientras estudiaba miles de fragmentos babilónicos relacionados con aplicaciones matemáticas en el antiguo reino mesopotámico.
En 2017, Mansfield estudió otra tableta similar del mismo período, conocida como Plimpton 322, y reveló que su propósito era el de una especie de tabla trigonométrica. Los babilonios en realidad no usaban la trigonometría como la conocemos, como en la rama de las matemáticas que se ocupa de las funciones específicas de los ángulos y su aplicación a los cálculos. De hecho, estos antiguos escribas entendían solo un ángulo: el ángulo recto.
Si bien Plimpton 322 no es una tabla trigonométrica en el sentido convencional, enumera una tabla de rectángulos útil en medidas prácticas. Específicamente, enumera los triples pitagóricos, un triángulo rectángulo cuyos tres lados son todos números enteros donde el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Por ejemplo, un rectángulo con lados 3 y 4, y una diagonal de 5 se puede dividir en dos mitades iguales en la diagonal, dejando dos triángulos perfectos en ángulo recto. Plimpton 322 no enumera todas las triples pitagóricas posibles, sino que compila una serie de triples, tanto rectángulos como triángulos rectángulos, que probablemente se encontraban comúnmente en el trabajo de topografía. Fue un trabajo más práctico que teórico.
Esta limitación se debe al sistema numérico babilónico sexagesimal (base 60), lo que significa que solo algunas formas pitagóricas pueden usarse en la práctica. En este sistema, los números se escriben agregando símbolos que representan 10 o 1, en ese orden. Por ejemplo, el número 5 se escribe como “espacio en blanco” para indicar que no hay 10 y cinco 1. El número 16 se escribe como un 10 seguido de seis unos. Luego, estos signos numéricos del 1 al 59 se pueden unir a su vez para escribir números de cualquier longitud.
El sistema numérico de base 60 todavía se usa en algunos casos de nuestras vidas, a pesar de la ubicuidad de la base 10. Por ejemplo, todavía contamos sesenta minutos en una hora y sesenta segundos en un minuto, y medimos ángulos en múltiplos y fracciones de 60. Este es el legado de los astrónomos griegos que adoptaron el sistema babilónico de base 60 porque su propio sistema no era tan adecuado para los cálculos astronómicos.
Pero como es difícil escribir y calcular con números primos mayores que 5 en base 60, solo se usaron algunos triángulos pitagóricos. Es por eso que Mansfield llama a la geometría babilónica proto-trigonometría, un paso intermedio hacia la trigonometría moderna que involucra seno, coseno y tangente.
Sin embargo, no estaba claro cómo se usaban realmente en la práctica tablillas como las que se encuentran en Plimpton 322. Mansfield había oído hablar de otra tablilla que contenía triángulos y rectángulos, pero a pesar de sus mejores esfuerzos por localizarla, hablando con muchos funcionarios de los ministerios y museos del gobierno turco (las últimas pistas conocidas para la tableta), no pudo encontrarla. Sin embargo, un día a mediados de 2018, el matemático recibió una foto de Si.427 en su bandeja de entrada.
“Salí corriendo de mi oficina y encontré a dos colegas en medio de una reunión. Irrumpí en su reunión y divagué cosas emocionantes sobre “Pitágoras” y “Babilonia”, y mis colegas tuvieron la amabilidad de sonreír mientras yo sacaba toda mi emoción”, relató.
Juntos, Plimpton 322 y Si.427 pintan un cuadro de cómo se usaban las matemáticas en la antigua Babilonia. En lugar de utilizar conceptos trigonométricos para estudiar el cielo nocturno, como lo hicieron los antiguos griegos en el siglo II a. C., la proto-trigonometría alternativa empleada por los babilonios parece resolver principalmente problemas relacionados con el suelo.
“Sabíamos que los babilonios eran matemáticamente avanzados. Sabían todo sobre la geometría de los triángulos rectángulos, pero no sabíamos por qué. ¿Qué estaban haciendo con los triángulos rectángulos? ¿Para qué los estaban usando? Esta pregunta de “por qué” me motivó a mirar los artefactos babilónicos de museos, bibliotecas y colecciones privadas de todo el mundo. Lo que descubrí es que los babilonios estaban aplicando su comprensión de los triángulos rectángulos para medir y subdividir la tierra con precisión”, dijo Mansfield a ZME Science.
“La forma en que entendemos la trigonometría se remonta a los antiguos astrónomos griegos. Me gusta pensar en la comprensión babilónica de los triángulos rectángulos como una precuela inesperada, que en realidad es una historia independiente porque los babilonios no la usaban para medir las estrellas, la usaban para medir el suelo. Quizás algunos aspectos de este conocimiento se transfirieron a otras civilizaciones, pero no he visto ninguna evidencia de esto”, agregó.
Aunque el descubrimiento de Plimpton 322 llevó a algunos a especular que su propósito estaba relacionado con la construcción de palacios y templos, canales y otras obras prácticas, fue solo con el descubrimiento de Si.427 que todas las imágenes del rompecabezas se unieron. Durante el período en que se grabaron estas tablillas, Babilonia estaba experimentando un cambio social en el que gran parte de la tierra trasladada se convirtió en privada. La designación de límites adecuados sin afectar las relaciones de vecindad fue esencial, que es donde entraron los topógrafos y sus triángulos rectángulos.
A continuación, Mansfield planea estudiar qué otras aplicaciones, además de encuestar, tenían los babilonios para sus tabletas proto-trigonométricas. También está interesado en saber si existen aplicaciones en el mundo real para estas técnicas simples pero rápidas en nuestra era moderna. “Por ejemplo, este enfoque podría ser beneficioso en gráficos por computadora o en cualquier aplicación donde la velocidad sea más importante que la precisión”, dijo.
Y como una ilustración cómica del papel esencial que tuvieron los agrimensores en el período de la Vieja Babilonia, aquí hay un poema hilarante en el que un estudiante mayor reprende a uno más joven por su incompetencia en el levantamiento de un campo. “Es esencialmente una pista de distorsión de 4000 años”, dijo Mansfield.
“Ve a dividir una parcela y no podrás dividir la parcela;
ve a repartir un campo, y ni siquiera puedes sujetar la cinta y la varilla correctamente.
No puedes colocar las clavijas de campo; no puedes descifrar su forma,
para que cuando los hombres agraviados se peleen no puedas traer la paz,
pero permites que el hermano ataque al hermano.
Entre los escribas, tú (solo) no eres apto para el barro”.
Fuente: ZME Science.
