En 1900, en el Gran Anfiteatro de la Sorbona de París, David Hilbert se presentó ante una multitud de matemáticos y pronunció un discurso que resonaría durante el siglo siguiente. Expuso 10 —y posteriormente 23— problemas sin resolver que, según él, definirían el futuro de las matemáticas.
Ahora, 125 años después, un trío de matemáticos cree haber resuelto parcialmente uno de los problemas de Hilbert: el sexto.
En un artículo preimpreso, Yu Deng, Zaher Hani y Xiao Ma presentaron una rigurosa derivación de las ecuaciones de la mecánica de fluidos, incluyendo las famosas ecuaciones de Navier-Stokes y de Euler, comenzando por las leyes de Newton y pasando por la teoría cinética de Boltzmann. Su trabajo, aunque profundamente técnico, conecta tres teorías que describen el movimiento de los fluidos: desde la danza caótica de los átomos hasta el elegante movimiento del viento y las olas.
Una realidad, tres visiones
¿Cómo surge el mundo de fluidos que vemos —el humo en espiral, las ráfagas de viento, los remolinos de un arroyo— a partir de innumerables partículas invisibles que rebotan a su alrededor?
Para abordar este problema, los físicos se basaron durante mucho tiempo en la teoría cinética de Boltzmann, desarrollada a finales del siglo XIX. Ludwig Boltzmann argumentó que si se conocía la probabilidad de la ubicación de cada partícula y su velocidad de movimiento, se podía describir estadísticamente el comportamiento de los gases. Esta teoría se describe en la ecuación de Boltzmann. Hasta el día de hoy, los ingenieros utilizan esta ecuación para calcular las propiedades promedio de un gas o fluido, como la presión o la temperatura, sin obsesionarse con cada colisión microscópica.
Pero esta ecuación siempre ha sido problemática. Matemáticamente, nadie había demostrado que esta ecuación estadística pudiera derivarse rigurosamente de las leyes deterministas de Newton. Tampoco se había seguido la línea completa desde los átomos hasta Boltzmann y las ecuaciones completas de los fluidos, como las ecuaciones de Navier-Stokes que rigen el flujo de aire y las corrientes de agua. Durante más de un siglo, nadie había logrado demostrar que estas ecuaciones (las leyes de Newton, la ecuación de Boltzmann y las ecuaciones de Navier-Stokes) realmente se derivan una de otra.
Esa es la esencia del sexto problema de Hilbert. El matemático alemán desafió a los científicos a sentar las bases matemáticas de la física mediante su axiomatización, de forma similar a cómo la geometría se construye a partir de un conjunto de axiomas. En su discurso, destacó la ecuación de Boltzmann como un eslabón clave y retó a las generaciones futuras a derivar las leyes de la física desde cero.
Un nuevo puente matemático
Axiomatizar la física significa identificar un conjunto de principios básicos y evidentes (axiomas) de los cuales se pueden derivar lógicamente todas las leyes físicas. Este enfoque busca garantizar que todo el marco teórico de la física sea coherente, completo y libre de contradicciones.
Hilbert destacó específicamente dos áreas:
- Teoría de la probabilidad: Enfatizó la necesidad de un tratamiento matemático riguroso de la probabilidad, que es fundamental para la mecánica estadística y la teoría cuántica.
- Mecánica y teoría cinética: Hilbert estaba interesado en desarrollar un marco matemático que conectara el comportamiento microscópico de las partículas (como lo describe la teoría cinética) con las leyes macroscópicas del movimiento para medios continuos (como fluidos), como las descritas por las ecuaciones de Navier-Stokes.
Físicos y matemáticos habían avanzado en algunas piezas del rompecabezas. Algunos, incluido el propio Hilbert, habían demostrado cómo las ecuaciones macroscópicas se derivan de las mesoscópicas. Otros abordaron cómo la ecuación de Boltzmann podía surgir de las leyes de Newton, pero solo por momentos fugaces o en condiciones excesivamente ordenadas.
Deng, Hani y Ma han conectado toda la cadena, desde las partículas hasta las estadísticas y el flujo continuo de fluidos. Y lo han hecho a lo largo de largas escalas de tiempo, donde las matemáticas se complican y las interacciones entre partículas se acumulan.
La nueva prueba
La prueba se desarrolla en dos grandes etapas. En primer lugar, el equipo extiende su trabajo previo del espacio infinito a un entorno periódico; en términos matemáticos, consideran partículas que se mueven en un toro bidimensional o tridimensional. Esto les permite evitar los efectos de borde y, al mismo tiempo, captar la esencia del espacio físico. Demuestran que cuando un gran número de partículas esféricas duras colisionan elásticamente según las leyes de Newton, y cuando su tamaño se reduce en la proporción justa a su número, el sistema obedece a la ecuación de Boltzmann.
Esto requiere lo que se conoce como el límite de Boltzmann-Grad, un escalamiento delicado donde el diámetro de la partícula disminuye mientras que el número de partículas aumenta, manteniendo fija la tasa de colisión. «La necesidad de este escalamiento… fue descubierta por Grad», señalan, refiriéndose al trabajo de Harold Grad en la década de 1960.
“El primer límite (cinético) resultó ser más desafiante”, admiten los autores, porque exige seguir las interacciones de las partículas durante largos períodos, algo que había eludido los trabajos anteriores.
Una vez construido este puente, el segundo paso consiste en derivar las ecuaciones clásicas de fluidos a partir del marco de Boltzmann. Este llamado límite hidrodinámico supone que la tasa de colisión se vuelve muy alta (el camino libre medio se reduce), lo que provoca que el sistema adopte un comportamiento similar al de un fluido.
Con esto demuestran que el mundo atomístico de Newton da lugar a:
Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes-Fourier, que describen el flujo de fluidos viscosos con conducción de calor.
Las ecuaciones de Euler compresibles, que modelan flujos no viscosos como las ondas sonoras o los frentes de choque.
Estas son las ecuaciones que utilizan los ingenieros para simular todo, desde las alas de los aviones hasta los modelos climáticos. El resultado es una derivación continua (desde las leyes de Newton hasta la ecuación de Boltzmann y la de Navier-Stokes) que rastrea la lógica del movimiento del fluido en todas las escalas.
¿Qué significa esto para la física?
El hallazgo no modifica las ecuaciones de fluidos en sí. Los ingenieros seguirán utilizando las mismas herramientas para diseñar aviones y simular el clima.
Pero cambia nuestra confianza en esas herramientas. Nos dice que las ecuaciones funcionan no sólo porque coinciden con los hallazgos empíricos, sino porque deben derivarse de leyes más profundas.
En física, este tipo de consistencia es fundamental. Es una señal de que nuestras teorías tienen bases sólidas: que entendemos no solo qué funciona, sino también por qué.
El resultado podría inspirar trabajos similares en otras ramas de la física. Desde la física del plasma hasta la materia condensada y la teoría cuántica de campos, los investigadores suelen oscilar entre descripciones microscópicas y macroscópicas. Un vínculo matemático sólido entre ambas ayuda a evitar sorpresas y abre la puerta a otras nuevas.
Los hallazgos aparecieron en arXiv.
Fuente: ZME Science.
